Google

Kopafbeelding

Stuur een mail naar de Begeleidingsdienst voor Vrijescholen: P. van Meurs
Stel een vraag
Onderdeel deel:

                                                                   image 1

 

Hoofdstuk 1

 

Wij beschouwen vermogen als een kwaliteit die je al tot je beschikking hebt. Dat kan bewust zijn of onbewust.

Wij beschouwen een vaardigheid als iets dat je hebt geleerd. Je kon het eerst niet en nu wel. Je moet een zekere mate van vermogen hebben om een vaardigheid te kunnen ontwikkelen

Wanneer kinderen leren rekenen is het de kunst om hen zover te brengen dat ze hun eigen rekenvermogen leren gebruiken en omvormen, zodat het tot rekenvaardigheid wordt. Dan pas kunnen ze dat wat in potentie in hen aanwezig is, ook gebruiken in hun verdere leven.

In de natuurwetenschappelijke cursus1 vergelijkt Rudolf Steiner het mathematiserend vermogen met het fenomeen van twee tegen elkaar wrijvende lichamen waaruit warmte ontstaat. We kennen allemaal het fenomeen van het wrijven met een doek over een koperen bal. Na enige tijd ontstaat er warmte. In zijn lezing stelt hij de vraag of de warmte door de van buiten komende beweging ontstaat of dat deze warmte reeds latent in de bal aanwezig was en door de beweging van buitenaf vrij komt. Alsof de warmte als het ware gewekt wordt. En dan legt hij de relatie met het mathematiserend vermogen.

Is het mathematiseren een gegeven, meegekregen met de geboorte, of ontstaat het in de mens?

Wij denken dat beide vooronderstellingen waar zijn:

Het rekenvermogen is latent in de mens aanwezig

Om een stap in de richting van het verborgen mathematiserend vermogen te maken moeten we het etherlichaam nader bekijken. Daarbij kunnen we de werking van het licht als voorbeeld nemen.

Licht kunnen we niet zien, het licht zelf kunnen we met het menselijk oog niet waarnemen. De schoonheid van de werking van het licht wel. Het licht openbaart zich in de kleuren en vormen die we wel kunnen aanschouwen. Verdwijnt het licht dan kunnen we geen kleur en vorm met het oog onderscheiden.

Het etherlichaam heeft een aantal kwaliteiten waarvan er één, de ‘klankether’, werkt aan de vorm. Deze klankether kunnen we met het oog niet aanschouwen, net zoals we het licht zelf niet kunnen waarnemen. Wel kunnen we de werking zien.

Daar waar de buitenwereld vorm toont, daar waar gestructureerd wordt, waar ritmische vormgeving ontstaat, daar hebben we een afdruk van de klankether.

1 Grenzen der Naturerkenntnis und ihre Uberwindung, GA 322, Dornach 29-09-1920

 

Wie met zulke ogen naar de natuur kijkt zal ontdekken dat de gehele wereld doordrongen is van structuren, ritmische vormgeving en vormen. Denk maar aan planten en getalsverhoudingen. Ook het menselijk lichaam is op deze wijze gevormd, het is doordrongen van structuren die aan strenge wetmatigheden van de mathematiek gehoorzamen. Van deze verhoudingen, de opbouw van ons skelet tot in de kleinste details van microscopisch waarneembare deeltjes, vinden we structuren terug die uiterst nauwkeurig gemodelleerd zijn, die wiskundig correct zijn opgebouwd. Wij zijn door en door gemathematiseerd, zou je kunnen zeggen. Het mathematiserend vermogen heeft tot in de vorm van de mens, van elk mens, gewerkt. En zo kan je vooronderstellen dat elk mens dit vermogen in zich mee draagt. Hij draagt in zijn eigen etherlichaam mee, waar hij een afdruk tot in het fysieke van heeft gemaakt. Rudolf Steiner geeft in zijn natuurwetenschappelijke cursus aan dat het mathematiseren ontwaakt. Vanuit het organisme komen deze mathematiserende krachten tevoorschijn. Ook geeft hij aan dat we kunnen waarnemen hoe deze vermogens langzaam aan het licht komen. Verderop in genoemde voordracht spreekt Rudolf Steiner over de onderste drie zintuigen. Deze drie zintuigen hebben een sterke werking op het mathematiserend vermogen van de mens. Zintuigen zijn te beschouwen als vensters op de wereld, door onze zintuigen zijn we in staat om waar te nemen. Het zijn waarnemingsorganen waarmee we niet alleen de ander en de buitenwereld ontmoeten, maar ook onszelf kunnen ervaren. In andere voordrachten wordt er over de onderste vier zintuigen gesproken als zintuigen die belangrijk zijn voor het rekenvermogen van kinderen. Wij vinden deze indeling in vier onderste zintuigen van belang voor de rekenontwikkeling en houden die dus verder aan.

Deze zintuigen werken het sterkst in de eerste zeven jaren van het leven. Door thuis te raken in het eigen lichaam, ook wel incarneren genoemd, raakt het kind vertrouwd met de mathematische wetmatigheden die aan de opbouw van dit lichaam ten grondslag liggen. Het wiskundig vermogen wordt als het ware iets meer navoelbaar gemaakt. Opvallend is dat deze onderste zintuigen naar binnen gericht zijn. Het gaat dus in eerste instantie niet om het waarnemen van de bewegingen buiten ons, maar om de werking die het bewegen op het innerlijk heeft. Het gaat niet om het feit dat we kunnen voelen welk materiaal we in de vingers hebben maar om de werking van het materiaal op ons. De beweging, het evenwicht en het tasten werken door naar binnen en wel zo dat alles wat daar buiten gebeurt tot een fysieke afdruk wordt.

Alle beschikbare ontwikkelings-krachten zijn nodig voor dit proces. Als men in de kleutertijd nadrukkelijk en cognitief rekenprocessen aanspreekt in het kind worden krachten aan een gebied onttrokken, dat zich juist in deze perio-de maximaal moet kunnen vormen. Om rekenvaardigheden te kunnen begrijpen en verwoorden, moeten de kinderen eerst aan den lijve hebben ervaren hoe rekenprocessen werken. Deze kracht waarmee de onderste zintuigen mathematiserend doorwerken sterft niet geheel af met de tandenwisseling maar hij neemt wel tijdens de rest van het leven in kracht af.

Het kind draagt een innerlijke, fysiek gebonden mathematiek in zich vanuit het voorgeboortelijke en vanuit de algemeen menselijke ontwikkeling. In de eerste zeven jaar van de ontwikkeling neemt het kind dit vermogen nog niet waar maar is het vermogen nodig om het lichaam op te bouwen, door te structureren en te mathematiseren. Het vermogen is nog geheel fysiek gebonden. Dat in het kind mathematiserende krachten werkzaam zijn en langzaam naar buiten willen komen, zichtbaar willen worden, is ook te zien in de kleutertekeningen met kleurige meetkundige ordeningsstructuren. In de betreffende voordracht geeft Rudolf Steiner aan dat de mathematiserende krachten vanuit diepten naar buiten toe zichtbaar worden. We kunnen waarnemen hoe deze vermogens zich ontwikkelen. Piaget en anderen hebben onderdelen van dit ontluikende vermogen beschreven.

Een aantal van deze ontluikende vermogens zijn:

Deze vermogens verschijnen aan de oppervlakte maar komen nog niet werkelijk tot bewustzijn. Het kind gaat de wereld nog niet bewust tegemoet met deze vermogens Dat verandert na het zevende levensjaar. De krachten die aan de vorming van het lichaam gewerkt hebben komen ter beschikking aan het bewustzijn.

Datgene wat innerlijk heeft gewerkt metamorfoseert na de tandenwisseling tot een vrije mathematiek. De latente mathematiek wordt tot een vrije mathematiek.

Om in het voorbeeld van de koperen bal te spreken: de latente warmte uit de koperen bal wordt tot een vrije warmte, de aan de bal toegevoegde warmte wordt tot een vrije warmte.

‘…….En dan zien we hoe datgene, wat in eerste instantie het organisme doorvormd heeft, doorzield heeft, hoe dat als zielenleven vrij wordt. Hoe de mathematiek opstijgt als abstractie uit die toestand waarin ze eerst concreet in het menselijk organisme gewerkt heeft…..’ 2 (vrij vertaald)

De mathematiek ontwaakt als abstractie uit de toestand waarin ze concreet in en aan het menselijk lichaam gewerkt heeft.

De rekenvaardigheden worden ons van buitenaf (door andere mensen) aangeleerd

We stelden al dat ook deze uitspraak waar is. Wil een kind tot rekenen komen, dan is het niet genoeg dat het in zichzelf de wetmatigheden van de mathematiek draagt; maar deze kennis moet ook vrij gemaakt worden, wil ze tot beschikking komen van het kind. Er moet dus actie ondernomen worden om dat mathematiserend vermogen te laten ontwaken. Het kind moet het mathematiserende vermogen, dat in de eerste jaren aan de fysieke organisatie heeft gewerkt, bewust tot zijn beschikking krijgen. Rond het zevende jaar maakt het rekenvermogen zich vrij als psychisch vermogen. Deze krachten, die in de eerste jaren vormend gewerkt hebben aan het lichaam komen nu gedeeltelijk vrij en kunnen gebruikt worden om te mathematiseren en te structureren aan de wereld om het kind heen. Het rekenen ontwikkelt zich vanaf dit moment als bewustmakingsproces. Tegelijk met dit proces ontwikkelt zich vanaf het zevende jaar het astraallichaam, waardoor het kind de concrete reken-buiten-wereld kan gewaarworden. Rekenend vanuit de concrete voorbeelden van het dagelijks leven, rekenend vanuit de beweging en rekenend vanuit het handelen worden de kinderen zich bewust van de rekenprocessen die ze innerlijk bij zich dragen. De kinderen ontwikkelen zich, ze ontdekken daarmee beweeglijke denk-beelden, structurerend vermogen en voorstellingen. Datgene wat we waarnemen nemen we in de nacht mee de geestelijke wereld in en de dag daarop dragen we ook iets de wereld in. Het wel of niet waarnemen van bepaalde vermogens hangt samen met het al of niet aanwezig zijn van hindernissen in de waarneming. Op velerlei wijzen wordt het structureren beoefend om het kind in contact te brengen met dit mathematiserend vermogen. Als het astraal lichaam eenmaal het licht laat vallen op dit vermogen dan pas kan het door het kind gezien worden. Dit wil dan nog niet zeggen dat het dan direct kan rekenen maar de weg staat open om van dit vermogen de weg naar vaardigheden te betreden.

We willen daar nog wel een kanttekening bij plaatsen. Vaak is onder de aanwijzing om het rekenen vooral vanuit de beweging en het ritme aan te leren, verstaan dat je de kinderen niet te vroeg in het denken moet aanspreken. Nabootsing werd gevraagd en zo liepen hele klassen kinderen in cirkels rond om de tafels van vermenigvuldiging te oefenen terwijl ze daarbij gecompliceerde klap- en stampbewegingen moesten uitvoeren. De motoriek die daarbij gevraagd werd was zo ingewikkeld, dat kinderen de getallenrij die ze erbij declameerden, vergaten of haast dromend mee mompelden. Het gebruik van ritme had een in slaap sussend, verdovende of zelfs een afstompende werking. Kinderen waren niet gemotiveerd, omdat ze niet wisten waarom ze deze bewegingen moesten uitvoeren. Hier schiet het gebruik maken van beweging en ritme het doel voorbij. Er wordt geen mathematisch vermogen gewekt. Zonder oplichten in het denken, zonder kunnen ervaren van het ritme en zonder enthousiasme of zingeving, wordt er niet gerekend, maar alleen voldaan aan de wensen (of grillen) van de leerkracht.

Het bewegen als voorbeeld van een mogelijkheid om het licht op het rekenvermogen te laten vallen.

2 Grenzen der Naturerkenntnis und ihre Uberwindung, GA 322, Dornach 29-09-1920

In ons lichaam dragen wij allerlei wiskundige wetmatigheden met ons mee. Denk alleen al aan de maat en de onderlinge verhouding van onze botten. Wij voelen aan ons lichaam wat zwaar is en wat licht. Dat voelen we alleen maar, omdat we een ijkpunt in ons eigen lichaam hebben. Wanneer wij ons niet gewaar zouden worden hoeveel meer moeite iets zwaars tillen kost dan iets lichts, zouden we die begrippen nooit inhoud kunnen geven. Maar ook het vermogen om wiskundige en rekenkundige patronen te herkennen, dragen wij als vermogen allemaal in ons mee. Door ons bewustzijn zijn wij in staat om verhoudingen waar te nemen en daarin wiskundige vormen te herkennen. Wanneer wij een gemengde bos bloemen zien, kunnen wij zien dat de rode bloemen in het boeket samen een vierkant vormen, bijvoorbeeld. Niet alleen zijn wij in onze fysieke gestalte zelf een voorbeeld van deze patronen, maar ook hebben wij de mogelijkheid om met bewustzijn dergelijke patronen in de ons omringende

wereld te herkennen. Om dat te kunnen herkennen, maken we gebruik van de bewegingszin. We tasten als het ware met onze ogen de vormen van het boeket bloemen af. We voelen hoe we van rode bloem naar rode bloem bewegen en herkennen in deze beweging een vierkant. Of we tillen fysiek een zwaar voorwerp en een licht voorwerp en in het bewegen vergelijken we de beide voorwerpen en komen zij in een bepaalde verhouding tot elkaar te staan. En die verhouding geven we vervolgens een naam, wanneer we het een ‘zwaar’ noemen en het ander ‘licht’. Maar er is meer. Door beweging brengen we structuur aan in vaste stof en ordenen we de chaos. Dit is een voorwaarde om het rekenvermogen tot bewustzijn te brengen. Daar waar rust en chaos met elkaar in contact komen, ontstaat ritme. Denk bijvoorbeeld aan het strand: waar de vaste stof, het zand, in contact komt met het bewegende water, ontstaat in het zand duidelijk zichtbaar een ritmisch patroon in de

image 2

zandribbels. De beweging maakt een structuur zichtbaar die regelmatig gevormd is, die ritmisch is. Ritme is een gevolg van het in beweging brengen van vaste stof. Maar omgekeerd kan je ritme ook gebruiken om vaste stof tot beweging te brengen. Wanneer een kind een telrij loopt en telkens op de derde stap een nadruk geeft, ontstaat er een ‘rekenwals’: één, twee, DRIE, vier, vijf, ZES, zeven, acht, NEGEN. De getallenrij zou je kunnen beschouwen als een vaststaand gegeven. Het is een rij getallen en verder niet. Door te bewegen, wordt er een ritme in aangebracht en door het ritme wordt er een structuur gewekt, of zichtbaar gemaakt, die ervoor nog verborgen was: de rij van drie. Wanneer er vervolgens naar de rij van drie nauwkeuriger wordt gekeken, blijken er wetmatigheden en structuren onder verborgen te zijn, die voorheen niet zichtbaar waren. Door nu met kinderen te bewegen bij het rekenen, ontwaakt het mathematisch vermogen. Je spreekt een vermogen aan dat in het kind, in het fysieke lichaam al aanwezig is. Bij de kleuter is het door de kinderen veel ervaringen te laten op doen, door hen al spelend de maat van de dingen te laten ervaren. Bij het lagere schoolkind, door het ritme te gebruiken en al bewegend op velerlei manieren het bewustzijn te wekken voor wat er aan wetmatigheden in de wereld om hen heen aanwezig is. Wij bedoelen hiermee bewegen in de ruimste zin van het woord, niet alleen klappend en stampend tafelrijen lopen, maar ook bijvoorbeeld ervaren hoe het is om in een vierkant te staan en er dan langs te lopen aan buitenzijde en binnenzijde, in tweetallen tegenover elkaar staan en een bal overgooien en dan om de beurt een getal zeggen, het aftasten met de ogen van vormen, maten en oppervlaktes, het meten met echte materialen, het oppakken van blokjes en op een rij leggen, ervaren hoelang een kilometer is door het te lopen, in viertallen om de beurt een getal zeggen en dan de tafelrij van vier ontdekken en tekenen hoe een ruitvorm eruit ziet.

1.2 Het ontluikende denken en de ontwikkeling van de rekenvoorwaarden

Processen achter de denkontwikkeling

Rekenen met getallen, dat doen de meeste kinderen pas vanaf een jaar of 6-7. We noemen ze dan leerrijp; het kind is rijp voor het systematische, schoolse leren. Het kan gaan nadenken over abstracte bewerkingen. Toch is het niet zo dat er voor het zesde, zevende jaar door een kind helemaal niet gedacht wordt. Het antroposofisch mensbeeld biedt een ontwikkelingspsychologie waar in de eerste zeven jaar het vrijkomen van etherkrachten een belangrijke rol speelt. Onder invloed van het gefaseerd vrijkomen van etherkrachten ontwikkelt zich in de eerste zeven jaar het denken in fasen. Na ongeveer twee jaar en vier maanden zijn het hoofd en de hersenen zover uitgevormd dat er etherkrachten vrijkomen voor het eerste zelfstandige denken. Vanaf dat moment ervaart het kind een zekere afstand tussen hemzelf en de omringende wereld. En die afstand is noodzakelijk om zelfstandige denkbewegingen te kunnen maken en om zichzelf als ‘ik’ te beleven. Met 5 jaar is ook de borstpartij, met zijn ritmische functies van ademhaling en bloedcirculatie, zover ontwikkeld dat er etherkrachten vrijkomen. Rudolf Steiner beschrijft in een voordracht in 1922 ( GA 303) hoe vervolgens deze twee krachten, de vrijgekomen etherkrachten uit het hoofdorganisme en de vrijgekomen groeikrachten uit het middengebied samenvloeien tot de levendige gedachtegang die de kleuter zo typeert: de kinderlijke fantasie.

Dit omvormingsproces van orgaangebonden etherkrachten naar zielenkwaliteiten gaat nog door tot het zevende jaar. Langzamerhand krijgt het kind etherkrachten vrij ter beschikking uit het stofwisseling/ledematengebied. Met zijn wil kan hij zijn denken nu gaan sturen. Hij wordt ontvankelijk voor voorstellingen die hij van buiten aangereikt krijgt. Hij wordt gevoelig voor de regels in de klas en voor autoriteit. Als opvoeders kunnen we steeds meer een appèl gaan doen op het geheugen van de kinderen en op het geweten. Leerrijp wil zeggen dat het etherlichaam voor een deel ter beschikking komt van het eerste abstracte denken. Als kinderen een jaar of zeven zijn zien we ook aan een aantal lichamelijke kenmerken dat zij schoolrijp worden: de tandenwisseling zet in, de ledematen groeien uit, de kleuterbuik verdwijnt en de taille verschijnt.

Het uitrijpingsproces van boven naar beneden kunnen we ook benaderen vanuit de visie van de neuropsychologie. Prof. dr. Goorhuis-Brouwer beschrijft deze visie in het tijdschrift voor Orthopedagogiek (februari 2004): ‘Bij een pasgeboren kind zijn de hersenen nog ongevormd. Maar er zijn biljoenen neuronen aanwezig die in de eerste jaren verbindingen aangaan met elkaar: de synaptogenese. Groei en exploratie van hersenstructuren staat hierbij op de voorgrond. Op basis van synaptogenese worden functionele neurologische routes aangelegd, bijvoorbeeld voor muzikaal geheugen, motorische vaardigheden en taal. Het is een proces dat plaatsvindt door interactie met de omgeving, waarbij het kind ervaringen opdoet, zowel gedragsmatig als cultureel. Het is ook een hiërarchisch georganiseerd proces, waarbij de myelinisatie een rol speelt. Vlak na de geboorte zijn de hersencellen nog hoofdzakelijk ongemyeliniseerd (myeline is een beschermend omhulsel rond zenuwcellen, red.). Langzaam aan vindt het myelinisatieproces plaats vanaf het hoofd naar de voeten…’. Uit allerlei onderzoeken blijkt dat het myelinisatieproces tot in de kleutertijd door gaat. De onderzoekers verschillen wel in hun mening tot welke leeftijd precies. Sommigen stellen een leeftijd tot ongeveer 7 of 8 jaar, anderen tot een jaar of vijf. In een ander werk, ’Een stevig fundament’ (Utrecht, 2005) schrijft Goorhuis-Brouwer over dit uitrijpingsproces in de kleuterperiode: ‘Essentieel is dat de aangelegde hersenstructuren in de kleuterperiode uitgebouwd en vastgelegd worden zodat de kinderen voldoende ‘hardware’ meekrijgen voor hun verdere leven. Ze citeert ter verduidelijking een beeldende uitspraak van Midas Dekkers: ’De bedrading moet nog afgewerkt worden’.

Goorhuis- Brouwer noemt de interactie met de omgeving een belangrijke voorwaarde voor de hersenontwikkeling. Steiner beschrijft o.a. in Algemeine Menschenkunde hoe de beweging vooraf gaat aan het denkvermogen. Je zou ook kunnen zeggen; kinderen leren denken door zintuigindrukken op te doen. Het denken is een innerlijke beweging die door de uiterlijke beweging wordt aangezet (zie ook paragraaf 1.1). Zo komt het kind van grijpen tot begrijpen, van zien tot doorzien, van proeven tot beproeven. Ieder leerproces bij jonge kinderen begint dus met het doen. Dat het doen uiteindelijk tot inzichten leidt heeft het kind te danken aan zijn eigen enthousiasme en belangstelling voor allerlei uitdagende zaken om hem heen. Zonder actieve betrokkenheid van het ‘ik’ leert het kind niet van zijn ervaringen. Als we ons afvragen welke processen ten grondslag liggen aan de denkontwikkeling kunnen we dus noemen de emanciperende etherprocessen, fysiologische en neurologische processen; de sociale en zintuiglijke omgeving en de werkzaamheid van het ‘ik’ dat dit alles aangrijpt voor de eigen ontwikkeling.

Over de ontwikkeling van de rekenvoorwaarden

Een kleuter hoeft nog niet aan allerlei leervoorwaarden te voldoen; de kleuterperiode is er om van alles te gaan leren en ieder kind doet dat in zijn eigen tempo. Welke vrijeschool kleuterjuf onderschrijft deze visie niet? En hoe verhoudt zich dan dit schrijven over de rekenvoorwaarden in de kleuterklas van vrijescholen? Is dat omdat de kleuterfase dient om de kleuters voor te bereiden op het schoolse leren? Is dat omdat de inspectie daarom vraagt? Wij hebben een andere intentie om ons in dit onderwerp verdiepen. Inzicht in de rekenvoorwaarden kan een goede hulp zijn om de ontwikkelingsstappen van het denken op het spoor te komen. Deze is gewoonlijk niet zo eenvoudig te volgen. Niet zo gemakkelijk als de motorische- of sociaal-emotionele vorderingen die eerder in het oog springen. We zien kleuters met hun hele lijf veel en energiek bewegen en naarmate ze meer gewend zijn de klas ‘ingroeien’. Een kind roept vaak zelf al trots wat hij nu al kan: van de vierde trap springen of veters strikken. Voor de ontwikkelingsstappen van het denken ligt dat anders: die zijn niet zo makkelijk waar te nemen. Hoe gaat dat denkproces ’van binnen’ bij de kleuter tijdens het spel? Denkt hij na over wat hij doet? En we beseffen dat als hij zou nadenken zoals wij volwassenen dat doen, hij niet zo vol overgave zou spelen. Daar zou hij dan helemaal niet aan toekomen. Maar als hij niet denkt zoals een volwassenen, hoe dan wel? Hoe krijg je zicht op de denkontwikkeling van een kind? Dat doen we door te kijken hoe het kind handelt en organiseert, hoe hij de omgeving onderzoekt en zich vragen stelt, maar ook door te luisteren naar de taal waarin hij zijn wensen en gevoelens uitdrukt. Het fantasiespel, het motorische spel en het constructiespel kan geobserveerd worden; ‘hoe voegt het kind zich in het sociale klassengebeuren en voert hij zelfstandige opdrachtjes als opruimen en een boodschapje doen uit’. Tegelijkertijd ontwikkelt het kind zo een heel aantal rekenvoorwaarden. Parallel aan de denkontwikkeling zien we het kind rekenvoorwaarden ontwikkelen. Anders gezegd: als we zicht hebben op de ontluikende rekenvaardigheden van een kleuter krijgen we tegelijkertijd oog voor de wijze waarop het kind denkt. Een overzicht van de verschillende fasen van de rekenvoorwaarden biedt een ‘kijkwijzer’ voor de ontwikkeling van het denken. Daarover handelt dit hoofdstuk. Hoe denkt een kleuter? Observaties helpen ons op weg; daarom eerst een kijkje in de kleuterklas.

 

Een kijkje in de kleuterklas

Een groepje kleuters staat om de lange tafel geschaard. Boven hun hoofden uit zien we twee torens; bouwwerken van houten latjes, gecombineerd met blokken. Twee oudste kleuters overleggen samen hoe ze de torens met elkaar kunnen verbinden. Moet dat met latjes? Die zijn niet lang genoeg. Of beter met een touwbrug of stroken papier? Ze bespreken de consequenties van de verschillende materialen. Papier is handig ja, zo geknipt maar het buigt wel. Daar kunnen de paardjes straks niet goed overheen. Bovendien staat het niet mooi. Een touwbrug, ja, maar dat moet dan nog gevlochten, is er iemand die dat zou willen doen? Ze kijken het kringetje rond en dan de klas rond op zoek naar een enthousiaste touwvlechter.

Tijdens dit overleg bouwen een paar andere kleuters enthousiast door. Ze willen allebei de hoogste toren en de mooiste. Ze klimmen op de stoel en vervolgens op de tafel en zetten de stoel op de tafel naarmate ze hoger moeten reiken. Ze genieten van de spanning als een toren begint te hellen en vertrouwen op hun handige fijne vingers en gevoel voor evenwicht bij het herstellen van een verkeerd gelegd blokje. Onderwijl spreken ze met elkaar over de koning die een hoge toren moet hebben om over zijn hele rijk te kunnen kijken, op zoek naar de draak. Waar zit die draak dan? In het bos? Nee, over de zeven bergen, dat is heel ver weg….

Degene bovenop de tafel krijgt allerlei bouwmateriaal aangereikt. Soms wordt het teruggestuurd omdat het niet past. Te lang of te kort of te klein, daar wordt vakkundig over geoordeeld en over gediscussieerd. Uitproberen biedt uitsluitsel.

Aan het eind van de lange tafel zit een kleine kleuter, Marije, dit gebeuren geboeid gade te slaan. Ze is nog maar een paar dagen in de klas en nu voor het eerst los van juffies rokken op onderzoek uitgegaan. Het lawaaiige, lachende groepje trok haar aandacht. Ze kijkt en geniet mee maar het komt niet bij haar op zich bij het clubje te voegen. Later zien we haar ook op een stoeltje klimmen. Ze springt er herhaaldelijk op en af. Na enige oefening zet ze ook nog een stoel op de tafel, nu heeft ze een trap, net als de grote kinderen, en ze klimt erop en eraf, erop en eraf. En als zij ‘s middags thuis de bouwdoos ziet vertelt ze over de grote jongens en over de draken achter de bergen….

Laten we dit spelgebeuren eens nader bekijken om zicht te krijgen op de verschillende denkfasen van peuter, kleuter tot schoolrijp kind. En analoog daaraan ontwikkeling van de rekenvoorwaarden in kaart brengen. Zo schematisch als hier is weergegeven verloopt de kinderlijke ontwikkeling natuurlijk niet. In werkelijkheid overlappen de fasen elkaar. Het is eerder zo dat elke fase een accent beschrijft in het denkproces. In een volgende fase komt er een vermogen bij, terwijl een eerder vermogen verder ontwikkeld wordt.

De jonge kleuter

Van welk instrument bedient het denken zich in dit voorbeeld? Waaraan kunnen we een denkproces aflezen?

Marije laat zien dat ze de veelheid aan zintuiglijke indrukken kan omvormen tot een adequate, gerichte handeling. Zoals zij de stoeltjes in een trapopstelling zet, dat is nabootsen, maar met bewustzijn voor de juiste ordening. Ordenen is een denkende activiteit, het is denken in het doen. In de ontwikkeling van het denken is het oplichten van de eerste herinnering een belangrijke mijlpaal. Dit is het moment waarop het kind ‘ik’ gaat zeggen tegen zichzelf. Dankzij de herinnering kan een kind op zoek in het eigen innerlijk naar vroegere ervaringen en waarnemingen. Zonder herinnering is er überhaupt geen scheiding tussen binnen en buitenwereld.

Zonder herinnering zou Marije in het voorbeeld aan het begin van dit hoofdstuk niet in staat zijn de indrukken in een adequate ordening om te zetten en thuis te vertellen over haar belevenissen in de klas. Opvallend is dat ze zich de bouwactiviteit van de klas herinnert op het moment dat ze thuis ook blokken ziet. Deze plaatsgebonden herinnering hoort bij de peuter en vroege kleuterfase. De herinnering zit nog vast aan een concrete situatie. Het kind ziet iets en er komt een herinnering boven. Het geheugen is nog niet zo sterk ontwikkeld dat we er als volwassenen op kunnen rekenen dat het kind zich van alles herinnert. Bij een jong kind is het denken nog associatief. Het kind ziet iets, dat voegt zich bij een herinnering en hij doet er een uitspraak over. Dat levert de voor deze leeftijd zo kenmerkende originele uitspraken op. Zo constateerde een bijna vierjarige toen er tijdens een storm een handdoek van de bovenbuurvrouw langs het balkon naar beneden dwarrelde verrast dat ‘Godvader in de hemel een handdoek was verloren’. De herinnering aan een boekenprent van Godvader op een wolk voegde zich bij de actuele waarneming van een handdoek in de wind.

De kleuter in de middenfase

Viel de innerlijke en uiterlijke wereld voor een peuter en jonge kleuter nog grotendeels samen, de ‘middenfase’ kleuter ervaart zichzelf in relatie tot de wereld om hem heen. Er is een beetje ruimte gekomen tussen hem en de wereld. Die ruimte is ook speelruimte. Speelruimte waarin het kind een eigen wereld kan scheppen. Dit is de bloeiperiode van de kleuterfantasie. Hij kan innerlijk allerlei bewegingen maken ten opzichte van, en met, de wereld: vergelijken, afwegen, korter, langer, hoger, scheef. Zoals in het voorbeeld hierboven van de bouwende kleuters. Maar het gaat niet alleen om de kwaliteit van het bouwmateriaal. Als een kleuter tegen een ander zegt: ‘Als jij mijn tekening mooi vindt, dan vind ik de jouwe ook mooi’ is op deze leeftijd een acceptabel aanbod, waar niets vreemds aan is. Behalve de tekening en rivaliteit misschien, is er het genot van het bewegen ten opzichte van de wereld. Het maken van oordelen, jezelf daarin ervaren, de nieuwe mentale ‘speelruimte’ gebruiken; dat karakteriseert de echte kleuter. Schoorel noemt deze fase de fase van het afwegen, het overwegen en vergelijken. Dat doet de kleuter met zijn eigen belevingen als uitgangspunt (E. Schoorel, De eerste zeven jaar, Zeist 2000).

Zijn eigen belevingen blijken nu ook een middel te zijn tot een nieuw soort herinneringsvermogen. De herinnering komt boven omdat het door de beleving wordt opgeroepen. Met behulp van muzikale en ritmische belevingen en bewegingen kunnen kleuters al lange teksten onthouden. De jaarfeesten herinnert de kleuter zich door de liedjes, lekkernijen en beelden. De vijfjarige Pieter herinnert zich dat er vroeger ook wel eens St. Maarten was. Dat was ‘toen zijn lantaarn alsmaar uitwaaide en een mevrouw hem een lekkere dropveter gaf’. Wat weet hij te vertellen over het kabouterboek? ‘Het gaat over een eng monster in een rots’. Het antwoord van Jonna op de vraag wat ze in de vakantie gedaan heeft komt voort uit een zelfde soort belevings-herinnering. Ze heeft ‘op de grond geslapen’ en ‘bij McDonalds TV gekeken’. Dat waren voor haar indrukwekkende belevenissen.

 

De oudste kleuter

De afstand tot de wereld is bij leerrijpe kinderen nog groter dan bij de vijfjarige en het denken is zover dat hij zich op iets in de wereld kan richten. Daarover kan hij een uitspraak doen. Daarmee is de schoolrijpe kleuter de wereld van het kleine kind ontgroeid. Hij kan nog best van alles spelen, graag zelfs. Maar de magische wereld van de kleuter, daar heeft hij afscheid van genomen. Daarvoor in de plaats zijn, naast de waargenomen wereld, de eigen gedachten gekomen. Los van de concrete zintuiglijke ervaring en eigen beleving kan een oudste kleuter een situatie voorstellen en er met aandacht bij zijn. Hij stuurt zijn denken met zijn eigen wil. Zoals in ons voorbeeld van de bouwende kleuters. De verschillende materialen hoefden niet uitgeprobeerd te worden; zij konden zich de consequenties voorstellen en doordenken. En het ene kind volgt de gedachtegang van de andere, het kan voorstellingen van anderen volgen. Daardoor is het nu ook in staat naar langere sprookjes te luisteren en zich daarin in te leven. Tegelijkertijd wordt het kind gevoelig voor objectieve regels en moraliteit. Dat vraagt vrijheid en beweeglijkheid in het denken.

Het geheugen maakt een zelfde ontwikkeling naar zelfstandigheid door. Het kan ook ingezet gaan worden voor onpersoonlijkere en objectievere kwesties . Een oudste kleuter kun je om een boodschap sturen naar de buurjuf: ga eens vragen hoeveel goudkarton ik voor juf Netty moet bestellen? Gaat jouw zusje vanmiddag naar de opvang of komt de oppas? Weet je nog hoe het verhaal verder ging vanaf dit plaatje?

Met de schoolrijpheid kan het kind dus beschikken over drie vormen van geheugen; plaatsgebonden, belevinggebonden en het vrije geheugen.

Samenvattend

Globaal zien we dus de volgende denkontwikkeling bij het kleine kind: de peuter en jonge kleuter neemt eerst al doende waar. De zintuiglijke ontwikkeling speelt daarbij een belangrijke rol. Hij beweegt mee, bootst innerlijk en uiterlijk na en benoemt wat hij waarneemt, hij denkt associatief. Vervolgens is te zien hoe de kleuter vooral een gevoelsmatige relatie met de wereld en zijn eigen voorstellingswereld heeft. Het is de bloeiperiode van de kinderlijke fantasie. En in de tweede helft van het laatste kleuterjaar zien we hoe kinderen steeds beter in staat zijn reflectief naar eigen en andermans handelen kunnen kijken, los van de concrete situatie en zijn eigen gevoelens. Het denken en het geheugen in deze fase voegt als het ware een nieuwe werkelijkheid toe aan de zintuiglijk waarneembare en gevoelsmatige en fantasievolle werkelijkheid.

De ontwikkeling van de rekenvoorwaarden

In optimale omstandigheden ontwikkelt het kind in de peuter en kleuterperiode allerlei rekenvoorwaarden. Terwijl ze in de weer zijn met blokken en planken, zand, brooddeeg en water leren de kinderen bijvoorbeeld impliciet dat een activiteit als hoeveelheden vergelijken op verschillende manieren kan gebeuren. Het kan door de objecten tegen elkaar aan te zetten, naast elkaar in je hand te nemen, op elkaar te leggen enz. Met een klein zandbakschepje een diepe kuil graven belooft heel veel graafwerk, daarom prefereren ze de grote scheppen. Zo ontdekken zij dat een hoeveelheid afhankelijk is van de gebruikte maat. Deze impliciete kennis brengen ze nog niet onder woorden, er wordt nog niet denkend op gereflecteerd.Dat wordt vooral zintuiglijk ervaren en beleefd maar als opvoeders merken we –in dit voorbeeld door de manier waarop een kind speelt- dat een kind maatbegrip ontwikkelt.

Hieronder wordt beschreven hoe de rekenkundige en meetkundige vaardigheden zich in de kleuterjaren ontwikkelen. De algemene ontwikkeling van het denken en het geheugen, die we hierboven behandelden, wordt als uitgangspunt genomen. Er worden weer drie fasen onderscheiden: de jongste kleuter, de kleuter in de middenfase en de leerrijpe kleuter.

De ontwikkeling van de rekenvoorwaarden bij de jongste kleuters

De peuter en jonge kleuter heeft spontane interesse voor alles wat er om hem heen gebeurt. En hij bootst daarbij de wereld om hem heen na, dat is zijn manier om in de wereld aanwezig te zijn. In wat hij nabootst brengt hij langzamerhand orde aan; hij leert daarin te sturen dankzij een denken dat nog dicht bij de zintuiglijke beleving ligt en een veelal plaatsgebonden geheugen. Parallel aan deze denkontwikkeling zien we hoe de kinderen de volgende rekenvoorwaarden ontwikkelen in alledaagse situaties.

Akoestisch tellen

Vooral in telliedjes en spelletjes doen kleine kinderen ervaring op met de getalswoorden. Ze zeggen of zingen deze dan in de volgorde van de telrij (‘één, twee, drie, vier, hoedje van, hoedje van …’). Zij beleven muzikaal plezier aan de vertrouwde volgorde van de klanken. Zo kunnen ze wel tot 20 ‘tellen’, zonder veel besef van hoeveelheid of van een vaste plaats in de telrij. Het is vooral taalverwerving.

Asynchroon tellen en beperkt objectgebonden tellen

Anna zit op de grond met een mandje kastanjes. Die gaat ze onder de kabouters en houten dieren verdelen. Ieder krijgt evenveel wintervoorraad is haar intentie. Je hoort haar tellen: ‘één, twee, drie, vier, vijf, zes, …’. Helemaal eerlijk wordt de voorraad niet verdeeld. Soms telt ze sneller dan ze uitdeelt, soms hapert ze met de telrij terwijl het uitdelen doorgaat. Uiteindelijk is alles verdeeld en ziet ze in een oogopslag dat de beer de minste kastanjes heeft; slechts vier. Nadrukkelijk telt ze nog eens en schuift daarbij de kastanjes ver uit elkaar. Tot vijf kastanjes tellen gaat herhaaldelijk goed.

Getal als kwaliteit, als naam en als beeld ervaren

Het jonge kind komt de getallen op allerlei manieren tegen. Als klank of als symbool voor iets: het huisnummer naast de voordeur; de leeftijd van papa, mama, de leeftijd van andere kinderen of zichzelf; een auto heeft vier wielen; er staat een 29 op zijn t-shirt. Sneeuwwitje en de ‘zeven’ dwergen. De wereld van de getallen is boeiend. Het betekent iets, maar wat? Een 5 op een botentrailer, wat betekent dat? Zeven nachtjes tot ik jarig ben, hoe lang duurt dat nog?

 

Eenvoudige correspondenties toepassen

De jonge kleuter ontdekt in de kleuterklas al gauw een bepaalde ordening. Er blijken bijvoorbeeld zaken te zijn die nu eenmaal bij elkaar horen: de rode kleine laarsjes naast elkaar op de mat, de jas bij het eigen plaatje op de kapstok, de grote blokken in de mand, de plakkwasten in het kwastenblok, elk kind een stukje appel.

Hoeveelheidsbegrip in een betekenisvolle context

In situaties die er voor de kinderen toe doen weten zij een overzichtelijke hoeveelheid aan een getalsnaam te koppelen. De overzichtelijkheid wordt bevorderd door het vaste beeldkarakter; het patroon. Ook de jongste kleuters kunnen meestal vier vingers opsteken als je ze vraagt naar hun leeftijd. De leeftijd van hun jongere broertje weten ze ook te benoemen en met hun vingers te symboliseren. Het tellen is hier aan een context gebonden en deze context heeft voor de kleuter betekenis: de eigen leeftijd, hoeveel broertjes of zusjes het kind heeft, de eigen hand met vijf vingers. Dit valt binnen de belevingswereld van de kleuter.

Zo zal de vierjarige Marthe als zij met haar oudere zusje een bordspel doet, al snel het patroon van het aantal stippen op de dobbelsteen herkennen en de getalsnamen uitspreken. Dat is contextgebonden tellen. Zolang de vijf stippen in een vierkantje geordend zijn met een stip in het midden weet zij: ’dat is vijf ’. Een volgende stap is dan om het waargenomen getal over te brengen naar de stappen op het speelbord. Dit vraagt een nieuw mentaal vermogen: elke sprong laten matchen met de volgende tel en op tijd stoppen. Ofwel: het vermogen van synchroon tellen en besef van hoeveelheid. Daar zal haar oudere zusje wel bij moeten helpen.

De invaljuf, gewend aan de aanpak in de onderbouw, wil de kleuterklas verdelen in kleine groepjes. Ze zegt: ‘straks krijg je een nummer, een 1, of een 2, of een 3. Dat nummer moet je goed onthouden, want straks hoor je bij groepje 1, 2 of 3’. Het is veelzeggend dat vooral de jongste kinderen hun nummer vergeten. De volgende keer geeft de juf aansprekende dierennamen aan de verschillende groepjes en alles verloopt heel soepel. Bijna alle kleuters hadden hun eigen dierennaam onthouden. Ook in dit voorbeeld zien we de rol van de betekenisvolle context . Zomaar een getal, zonder ondersteuning van een beeld of een plaatje, dat zegt een jong kind niet veel, dat ‘komt nog niet aan’. Daarvoor is op deze leeftijd meer nodig.

Passen en meten

Twee jongste kleuters, nog maar net in de kleuterklas, kijken toe hoe een paar oudsten de lappen vouwen. Elke opgevouwen lap wordt zorgvuldig op de kleurige stapel in de open plankenkast gelegd. Als de lappen daar even onbeheerd liggen, komt een van de twee kleintjes in beweging: hij schuift de lappen naar de verste hoek en probeert zelf tussen twee planken te kruipen. Hij trekt hoofd, armen en benen in, maakt zich zo klein mogelijk. De ander helpt een beetje door mee te duwen. En met wat passen en meten gaat hij er net in.… We zien hier een fundamentele manier van meten: met het hele lijf. Al spelend ervaart de jonge kleuter aan zijn eigen lichaam het verschil tussen groot en klein, zwaar en licht, hoog en laag. Al doende weet hij die verschillen ook te benoemen. Dit is het prille begin van ‘meetkundig begrip’: passen en meten.

Aan deze voorbeelden is te zien hoe de jongste kleuter de wereld van de getallen en verhoudingen leert kennen. Wat hij waarneemt benoemt hij, de zintuigen spelen hierbij een belangrijke rol.

De ontwikkeling van de rekenvoorwaarden bij de kleuters in de middenfase

We beschreven deze fase door te wijzen op de groter wordende speelruimte tussen de kleuter en de hem omringende wereld. Door deze grotere ruimte kan hij nu de dingen om hem heen beter bekijken. Wat eerst overgave aan de wereld was, wordt nu ‘met wat meer afstand bekijken en er iets van vinden’. Wat eerst zintuiglijke ervaring en benoemen was, wordt nu ook inschatten en beoordelen.

De grotere speelruimte ten opzichte van de wereld toont zich in deze fase ook in hoe de kleuter met de dingen omgaat. Hoeveel planken of lappen er voor het dak van een huis nodig zijn, dat schat hij nu in, hij probeert het uit en geeft er een oordeel over. Dan gaat hij om het huis heen lopen, alles weghalen en weer opnieuw neerleggen. Maar nu op een andere manier. Wat later ‘meetkunde’ wordt begint hier met spelend passen en meten in het spel.

De wereld van getallen, maten en verhoudingen komt voor de kleuter zo dichterbij. Hij kan nu zijn aandacht bewegen tussen bijvoorbeeld de ene toren en de andere. ‘Die toren is groter!’ ‘Ik ben al ouder, ik ben over drie nachtjes vijf’ en dat vertelt hij ons graag. Echter: hij doet dat in deze fase alleen dan, wanneer het past in zijn belevingswereld, wanneer het zijn subjectieve (spontane) interesse heeft of wanneer het past in zijn spel.

Op deze leeftijd ontwikkelen kleuters rekenvoorwaarden waar een zeker oordeelsvermogen bij komt kijken. Aan de basis van getalbegrip en het tellen ligt het vermogen van classificeren en de telrij. Bij de telrij gaat het erom dat je naast het kennen van de telnamen de juiste volgorde aanhoudt en niets overslaat of dubbel telt.

Bij het classificeren gaat het erom dat je wakker genoeg bent om overeenkomsten en verschillen te onderscheiden van elkaar. Je moet immers weten wat je meetelt en wat niet. In het alledaagse leven wordt dat vermogen vaak verlangd van een kleuter:

Vergelijken op lengte, schatten en meten

Hier houdt de kleuter erg van. ‘Juf, wie is de grootste?’ ‘Ga maar naast elkaar staan.’ Of: ‘Wie heeft de grootste schoenen? Wie kan het verste springen?’ Het zijn vragen, waar de kleuter graag veel energie in steekt.

Vergelijken van aantallen

Dit verlangt van de kleuter het vermogen om één-op-één vergelijkingen te maken.

In situaties waar iets eerlijk verdeeld moet worden doen ze dat met verve:

- Wie heeft er de meeste lappen? Eerlijk delen.

- Heeft elk kind een stoeltje in de kring?

- Wie heeft de minste boterhamstukjes op zijn bord?

Vergelijken van aantallen op meer en minder

Soms is met een oogopslag waar te nemen of er genoeg, teveel of te weinig is.

Daar is nog geen nauwkeurige één-op-één vergelijking voor nodig.

- Er zijn veel meer wortelstukjes dus die gaan we straks verdelen.

- De jongens hebben veel meer bouwkisten.

 

De ontwikkeling van de rekenvoorwaarden bij de oudste kleuters

We konden zojuist al lezen hoe de oudste kleuter zijn denken steeds vrijer in kan zetten om de wereld om hem heen en anderen te begrijpen. Dat vraagt enerzijds aandacht en concentratie, anderzijds een grote beweeglijkheid van het denken. Vanuit deze ontwikkeling zien we dat de volgende rekenvoorwaarden ontluiken:

Synchroon tellen

De kleuters zijn steeds beter in staat tot synchroon tellen. Ze vliegen met plezier over het 10-tal en onthouden ‘vreemde’ telwoorden als 11 en 12 en 13. Dit vraagt toepassing van allerlei objectieve regels zoals beginnen bij 1, besef van getallen die een vaste plaats hebben en die plaats onthouden, niks overslaan.

Resultatief tellen

Door vaak te tellen gaan kinderen intuïtief beseffen dat het laatste getal iets te maken heeft met de uiteindelijke hoeveelheid. Dit wordt gestimuleerd door opdrachtjes als;

‘Je mag 12 verfpotjes op het blad zetten’. ‘Eens kijken of alle 22 kinderen er vandaag zijn in de kring’ in plaats van ‘laten we eens tellen hoeveel kinderen er zijn vandaag’.

Besef van hoeveelheid en getalbegrip in gedachten

Dat blijkt uit gesprekjes die kleuters samen voeren over zaken die niet concreet aanwezig zijn: ‘Ik heb 13 knuffels in mijn bed, ik heb ze geteld.’ ‘Ik 7 maar dan heb ik pop Lieselot meegeteld’. ‘Vaders zijn ouder dan moeders’, ‘mijn papa is 31 en mijn mama ook!’ Ze kijken elkaar verrast aan hoe dat nu toch kan.

Oriëntatie in de ruimte

Oudste kleuters herinneren zich goed waar alles hoort te staan in de kleuterklas. Dat kunnen ze je nu ook vertellen zonder dat ze het aan hoeven wijzen. Ze weten vaak nog dat ze hun jas onder de glijbaan hebben gelegd. Dit in tegenstelling tot een jongere kleuter die eerst een kijkje moet gaan nemen op de speelplaats.

Oriëntatie in het platte vlak

Vanuit de zintuiglijke beleving (en toenemende sensorische vaardigheid) kunnen de kinderen tijdens allerlei activiteiten meetkunde in het platte vlak toepassen:

Ordenen

Doordat ze ‘wakker’ zijn hebben oudste kleuters een groot onderscheidingsvermogen en kunnen ze ordenen en opruimen op meerdere eigenschappen: ‘Doe de verfpotjes maar in de la maar de lege potjes in de wasbak’ ‘De lange draden mogen in het mandje; de korte in de prullenbak’ ‘Zoek maar uit welke bijenwasjes te klein zijn, die kan je tot een bolletje samenvoegen’ Maar ze kunnen ook zelf oplossingen verzinnen voor allerlei vraagstukken die om een oplossing vragen in het sensomotorische spel en het sociale en praktische leven in de klas. Dat maakt deze kinderen tot onmisbare helpers van juf.

Conservatie

Je gedachten niet laten afleiden door de waarneming; dat is waar het bij het vermogen tot conservatie om gaat. Een bekende onderzoeksvraag is: hier is een hoog smal glas met limonade en dat giet ik over in een breed laag glas. In welke zit nu meer denk je? Het kind dat mentaal kan terugdenken zegt: ‘evenveel want als je teruggiet is het weer evenveel’. Als een kleuter dat kan gaat hij op zijn eigen innerlijk oordeelsvermogen vertrouwen. In het onderzoek voor de vijf- en zesjarigen, behorend bij het kleutervolgsysteem van de Begeleidingsdienst voor vrijescholen (zie bijlage 3) wordt naar dit conservatiebegrip gevraagd. Er zijn kinderen die je verbaasd aankijken als je ze vraagt of er meer blokjes in de rij liggen nu ze uit elkaar geschoven zijn. Hoe kan juf dat nu vragen?! Natuurlijk niet, er zit alleen maar meer ruimte tussen de blokken! Sommige kinderen twijfelen en gaan tellen en de rijen vergelijken. Bij hen is het conservatiebegrip nog niet echt geland maar ze kennen het hoeveelheidsbegrip en gebruiken dat om zichzelf zekerheid te verschaffen. En dan zijn er nog de kinderen, en dit zijn inderdaad vaak de jonge kinderen, die overtuigd antwoorden dat de rij waar de blokken verder uit elkaar geschoven zijn meer blokken bevat. Omdat de rij langer is, dat is toch logisch! In dit kleuteronderzoek over de rekenvoorwaarden is dit de opdracht die het meest een appèl doet op dat objectieve (dus niet plaatsgebonden en niet belevingsgebonden) denken. Tot zover voorbeelden van rekenvoorwaarden in verschillende fasen van de denkontwikkeling. In het hoofdstuk over de ‘Tussendoelen’ worden de rekenvoorwaarden systematisch behandeld en uitgediept.

Hoofdstuk 2